ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава

Но в диалоге "Тимей" мы обнаруживаем иную оценку Платоном зрения и другое соотношение меж 2-мя родами зания - при помощи глаз и при помощи разума: "...осталось ответить, какова же высшая полезность от глаз, ради которой бог их нам даровал. Да, я говорю о зрении как об источнике величайшей для нас полезности; вот и ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава в сегодняшнем нашем рассуждении мы не смогли бы сказать ни одного слова о природе вселенной, если б никогда не лицезрели ни звезд, ни Солнца, ни Неба. Так как же денек и ночь, круговороты месяцев и годов, равноденствия и солнцестояния видимы, глаза открыли нам число, дали понятие о времени ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава и побудили изучить природу вселенной, а из этого появилось то, что именуется философией и лучше чего не было и не будет подарка смертному роду от богов. Я утверждаю, что конкретно в этом высшая полезность глаз".

Здесь, видимо, очевидное противоречие. Зрение то противопоставляется мышлению в качестве обычного чувства, то ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава чуть ли не отождествляется с мышлением, с разумом. По правде, мы узнаем сейчас, что Бог даровал нам зрение, чтоб мы следили "круговращения разума в небе", т.е. лицезрели очами то, что можно только постигнуть мозгом.

Специфичное осознание зрения и его роли в зании, особенное отношение меж зрением и мышлением - принципиальная ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава и соответствующая черта древней науки, потому на ней мы остановимся подробнее, тем паче что этот вопрос и потом не один раз будет завлекать к для себя наше внимание.

Зрение в качестве чувства ставится Платоном выше других чувств - слуха, осязания, вкуса, чутья. Платон разъясняет приемущество зрения над другими ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава чувствами очень своеобразно. Вот что он гласит по этому поводу:

"Направлял ли ты внимание, до какой степени драгоценна эта способность созидать и восприниматься зрением, сделанная в наших чувствах демиургом?

- Нет, не в особенности.

- А ты посмотри на это ах так: чтоб слуху слышать, а звуку звучать, требуется ли еще нечто третье ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава, так, что когда оно отсутствует, ничто не слышится и не звучит?

- Ничего третьего здесь не надо.

- Я думаю, что и для многих других чувств - но не для всех - не требуется ничего подобного... А разве ты не замечал, что это требуется для зрения и для всего того, что можно созидать?

- Что ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава ты говоришь?

- Какими бы остроглазыми и восприимчивыми к свету ни были у человека глаза, ты ведь знаешь, он ничего не увидит и не различит, если попробует воспользоваться своим зрением без наличия чего-то третьего, специально для этого предназначенного.

- Что все-таки это, по-твоему, такое?

- То, что ты называешь ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава светом.

- Ты прав.

- Означает, важным началом связуются вместе зрительное чувство и возможность визуально восприниматься; их связь ценнее всякой другой, так как свет драгоценен".

Платон, как лицезреем, убежден, что при всех чувствах, не считая зрительного, ощущаемое и ощущающий орган соединяются меж собой конкретно - убеждение, которое играет большую роль в ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава платоновском осознании познания и которое потом пересматривается у Аристотеля. Одно только зрение оказывается, по Платону, в особенном положении: чтоб созидать, нужно наличие 3-х моментов: видимого предмета, видящего глаза и света, который делает функцию посредника меж первым и вторым. Но не поэтому только, что зрительное чувство подразумевает наличие 3-х моментов заместо ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава 2-ух, оно ставится Платоном выше других видов чувств - дело здесь к тому же в том, что, как подчеркивает Платон, посредствующий момент - свет сам по для себя "драгоценен". Свет как явление чувственного мира выделяется Платоном посреди других явлений; он выступает как особенного рода явление, как представитель мира сверхчувственного.

В этом ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава смысле свет есть уже не просто явление, а знак: он символизирует собой нечто другое, высшее. Различая мир видимый (чувственно данный) и мир невидимый (умопостигаемый), Платон в то же время показывает в чувственном мире аналог мира умопостигаемого, и этим аналогом является конкретно свет. Свет солнца - это чувственный аналог ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава света разума; и как источником и средоточием всего умопостигаемого мира мыслях является, по Платону, мысль блага, так и солнце является средоточием всего видимого мира, источником его видимости, зримости: "...чем будет благо в умопостигаемой области по отношению к разуму и умопостигаемому, тем в области видимого будет Солнце по отношению к зрению ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава и визуально постигаемым вещам".

Сейчас мы можем разобраться в том противоречии, с которым выше столкнулись у Платона: с одной стороны, зрение, как вид чувства, как "разглядывание орнаментов на потолке", противоборствует разуму; с другой - "глаза открыли нам число", т.е. послужили источником разумного постижения.

Солнце - чувственный аналог идеи блага; видимый ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава свет - аналог света незримого, света разума, зрение - аналог умозрения, нечувственного, умственного созерцания мыслях. Но чувственный аналог двойствен, он может играть двойственную роль: и вести к тому, аналогом чего он является, и уводить от этого. Если мы будем рассматривать свет солнца как чувственный аналог другого света, то при помощи ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава солнечного света нам будет раскрываться этот другой свет. Если же, напротив, мы будем рассматривать солнечный свет сам по для себя, то нам ничего средством него не раскроется. Все зависит здесь от направленности нашего рассмотрения: мы будем созидать в свете или аналог чего-то более высочайшего, или просто чувственное явление - и ничего ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава больше. В первом случае глаза "откроют нам число", во 2-м - они увидят только "узоры на потолке".

Итак, свет для Платона есть чувственный аналог сверхчувственной действительности: способность, при помощи которой мы лицезреем свет, - а конкретно зрение имеет двоякий - "гибридный"? - нрав. По правде, с одной стороны, зрение - это ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава такое же "чувство", как и "осязание", "чутье" и т.д.; ведь оно "информирует" нас об эмпирической действительности. А с другой - зрение способно, при соответственной направленности его, созидать в эмпирическом мире знаки мира сверхэмпирического, к примеру в небе - число.

Этот "двоякий" нрав зрения совсем аналогичен "двоякому" нраву той стихии, которая служит ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава "началом" для геометров и которую Платон именует местом. И, по правде, разве не при помощи зрения раскрывается нам место? И зрение же открывает нам свет. Правда, места мы не лицезреем, а лицезреем только предметы в пространстве; но ведь и свет сам по для себя мы тоже не лицезреем, а лицезреем ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава "освещенные предметы". Свет - это промежная действительность, он есть самое близкое к сверхчувственному посреди чувственных явлений, самое близкое к интеллигибельному посреди вещественного. Но ведь и место неоплатоник Прокл именовал "интеллигибельной материей"!

Есть, но, и различие: место "неуловимо"; может быть, потому в нем можно вроде бы "строить" фигуры (при помощи фантазии ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава, а не чертежа, чертеж - дело вторичное), которые могут быть видимыми моделями невидимых - а только идеей познаваемых - отношений. Оно здесь вроде бы "материя", которую "разрезает" направляемое мыслью воображение геометра. Ведь числа и числовые дела - это мысль, а геометрические фигуры служат их "видимым подобием".

Что все-таки касается луча ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава света, то он наименее неуловим, луч света - это ровная линия. Не отсюда ли родилась идея сделать "материей" геометрии не место, а свет - идея, послужившая началом для сотворения геометрической оптики? И, по правде, то, что Прокл именует "интеллигибельной материей", имея в виду место геометров, неоплатоник XIII в. Гроссетет относит уже к ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава свету: свет - это и есть интеллигибельная материя, и математика изучает его законы.

"Интеллигибельная материя" и обоснование геометрии

Одной из труднейших в идеалистической философии Платона является неувязка: каким образом чувственные вещи оказываются "причастны" идеям? Что представляет собой эта причастность? Конкретно в этом пт идеализм Платона был подвергнут критике со стороны его ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава ученика Аристотеля, выявившего целый ряд затруднений, связанных с теорией мыслях.

Эта же трудность получила свое выражение и в платоновской теории математического познания. По-видимому, воззвание Платона к пифагорейству, в особенности в поздних его диалогах, в том числе и в "Тимее", не в последнюю очередь было вызвано попыткой разглядеть делему ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава "причастности" как делему соотношения чисел и геометрических объектов. Более того, при чтении поздних диалогов Платона время от времени появляется воспоминание, что конкретно этот 2-ой (математический) метод рассмотрения вытеснил собой 1-ый и что вопрос о том, каким образом вещи "подражают" идеям, сейчас стоит в таковой форме: как геометрические объекты ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава "подражают" числам? Тут неувязка причастности вещей идеям заполучила новый вид: как соотносятся безупречные образования - числа - с математическими объектами - точками, линиями, плоскостями, углами, фигурами? Ведь числа, по Платону, - это идеи; что все-таки касается геометрических объектов, то они носят нрав "промежный" меж мыслями и чувственными вещами. Они уже обременены некого ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава рода "материей", которую Прокл именует "интеллигибельной". Аристотель последующим образом объясняет, как платоники перебегают от чисел к геометрическим величинам: "что все-таки касается тех, кто воспринимает идеи... то они образуют величины из материи и числа (из двойки - полосы, из тройки - можно сказать - плоскости, из четверки - твердые тела...)". О какого рода "материи" тут речь ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава идет, мы выше уже гласили. Поглядим, но, каким же образом из чисел образуются величины.

О том, что такое число у Платона, мы кое-что уже знаем благодаря анализу задачи одного и многого. В итоге этого анализа мы узнали, что мир безупречного - это спецефическим образом возникающая система, что ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава ни единое не может ни существовать, ни быть познаваемо без соотнесенности с "другим", ни почти все не может ни существовать, ни быть познаваемо без соотнесенности с единым. Эта соотнесенность, единство противоположностей, как раз и дает начало числу. Единица - это, фактически, не число, а "начало" чисел вообщем, это единое, вносящее принцип определенности ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава в безграничное. Единица арифметиков - это "единое", организующее и порождающее числовой ряд. Но, как мы знаем, единое для порождения числового ряда нуждается в "партнере" - неопределенной двоице, которая у Платона выступает как "начало другого". Как мы помним, двойка - это "другое" одного и, как такая, тоже принадлежит безупречному миру ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава. Огромное количество, как мы помним, рождается, по Платону, из одного и "неопределенной двоицы"; не случаем Платон так близок к пифагорейцам: ведь тройка, согласно Филолаю, это - "1-ое число", 1-ое соединение единицы с неопределенной двойкой.

Тут появляется затруднение, на которое направил внимание Аристотель. "Если идеи - это числа, - гласит он, - тогда все единицы ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава нельзя ни сопоставлять вместе, ни считать несопоставимыми меж собой...". По правде, если единица - это единство, а "двойка", содержащая "единое и другое", может быть названа мыслью "различия", тройка, дальше, соединяющая средством третьего члена "единое" и "другое", может быть названа тождеством единства и различия, т.е. "целым" и т.д., то Аристотель прав ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава: здесь нет абстрактных, безразличных друг дружке единиц, "которые можно ассоциировать меж собой". Напротив, двойка, тройка, четверка и т.д. - это спецефическим образом организованные структуры, где любая из "единиц" не может рассматриваться сама по для себя. В то же время в математике мы "считаем" единицы, а означает ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава, они не могут быть несопоставимы меж собой. Аристотель вправду отмечает тут ту трудность, которая толкала Платона и в особенности его учеников - Спевсиппа и Ксенократа - к различению безупречных чисел и чисел математических. Но так как сам Платон, как мы знаем, этого различия еще не проводил, а различал только числа и ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава геометрические объекты, то мы и обратимся к этому различению.

Геометрические объекты получаются, как мы уже помним, "из материи и числа". "Интеллигибельная материя" - это место. Что значит соединение чисел с местом?

Начнем с единицы. Соединение единицы с местом дает 1-ый геометрический объект - точку. Точка - это "единица, имеющая положение" (Аристотель). Но, получив положение ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава, единица тем приобщается к "незаконнорожденному виду" бытия, хорошего от безупречной - логической - стихии, которой единица ранее принадлежала. Точка содержит внутри себя уже два ряда параметров: одни - унаследованные от отца - единицы (от мира мыслях), другие - обретенные от мамы - неопределенного места. От единицы точка наследует свою неделимость; отсюда и ее определение: "точка ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава - это то, что не имеет частей" (см.: "Начала" Евклида, кн. I, определение 1). Точку нельзя поделить поэтому, что она есть "воплощенное в пространстве" единое, а единое неразделимо по определению. Но у точки возникает и свойство, совсем чуждое единице - жилице мира мыслях: она движется и своим движением порождает линию. Этим ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава свойством она должна мамы - интеллигибельной материи - месту. И движется она конкретно в интеллигибельной материи, а не в чувственном мире, т.е. в воображении, а не в чувственном восприятии.

В итоге этих обратных определений точка, с одной стороны, является границей (это в ней от одного, оно же предел), а с ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава другой - может беспредельно двигаться (безграничное), порождая линию. Очень свойственны тут те определения, которые дает точке Прокл в комментах к Евклиду. Говоря о том, что точка - это монада, наделенная положением, Прокл замечает, что благодаря этой наделенности положением она Щn fantasЕa proteinetai (простирается в воображении), а поэтому точка Ьnul'n Щsti katІ t ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 главаЊn nohtЊn џlhn (оматериалена через интеллигибельную материю) и в этом смысле есть нечто swmatoeidhV (теловидное).

Перейдем к двойке. Что будет с двойкой, если она объединится с интеллигибельной материей - местом? Двойка - это "единое и другое", это начало различия, когда единое перестает быть полностью единым и вступает в контакт ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава с другим. Строго говоря, когда единица становится пространственной, т.е. вступает в контакт "с положением", а означает, с "другим", чем она сама, она уже двойка. И вправду, со стороны того определения, которое она получает от этого контакта, от "положения" (пространственности), она есть движущееся; а передвигающаяся точка - это линия. (Правда, не ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава будем забывать, что со стороны первого собственного определения - единицы - точка есть граница, т.е. нечто устойчивое, недвижное, закрепляющее.)

Но можно провести рассуждение и по другому. Если взять двойку не со стороны "материи" (передвигающаяся точка), а со стороны ее числово-идеального "отца", то она есть две единицы. Две единицы ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава, соединившиеся с местом (т.е. с положением), будут 2-мя точками. Линия со стороны числа, т.е. собственного логического, а не пространственного происхождения, определяется через "две точки". Таково ее определение у Евклида: "Концы же полосы - точки" (кн. I, определение 3). Вот почему посреди греческих математиков само собой разумелось, что линия - это ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава двойка. Через двойку дальше можно определять линию не только лишь логически, да и "в воображении", т.е. погружая "двойку" в "интеллигибельную материю"; такое определение, но, в отличие от первого будет включать в себя движение (cЕnhsiV fantasticї), а поэтому будет не логическим определением, а требованием выполнить некое действие ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава - постулатом. 1-ый постулат Евклида говорит: "Требуется, чтоб можно было через всякие две точки провести прямую".

Займемся сейчас тройкой. В сути, тройка у Платона является первым числом: ведь единица и "неопределенная двоица" - это быстрее "начала" чисел, чем сами числа. Тройка же представляет собой единство единицы и двойки, т.е. начала ограничивающего ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава и безгранично-неопределенного. Двойка, выражающая начало "различия", соединившись с материей-пространством, стает как линия, неограниченно продолжающаяся в обе стороны. У двойки, как мы знаем еще из разбора пифагорейской арифметики, нет "середины", которая "удержала" бы ее "концы", "скрепила" бы их вместе. В тройке эта середина налицо, а поэтому тройка - нечетное число - устойчива ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава и довлеет для себя. Но как в пространстве соединяется двойка-линия с единицей-точкой? Возьмем точку вне прямой и соединим ее отрезками с концами прямой; тем мы произведем операцию в пространстве, аналогичную соединению 3-х единиц либо двойки и единицы. В итоге мы получим новый геометрический объект - треугольник ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава. (Построение правильного, т.е. равностороннего треугольника на данной ограниченной прямой, либо операция нахождения точки, равноотстоящей от 2-ух других точек ("концов" прямой) - 1-ая аксиома I книжки "Начал" Евклида.)

В итоге соединения точки с прямой (единицы с двойкой в пространстве) ровная больше уже не может неограниченно длиться в обе стороны: 3-я ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава точка "держит" оба ее конца. Как "тройка" - 1-ое истинное число, так и треугольник - 1-ая пространственная фигура: точка и линия - это элементы, "начала", из которых строятся геометрические фигуры.

При всем этом "переведении" чисел в место каждое новое число представляет пространственный элемент нового измерения: единица не имеет измерений ("не имеет частей"); двойка ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава имеет одно измерение - "длину без ширины" ("Начала" Евклида, кн. I, определение 2); тройка имеет два измерения - длину и ширину. Треугольник, таким макаром, есть "1-ая" (не во временн(м, а в логическом смысле) плоскость, ибо тройка значит два измерения.

В конце концов, четверка, соединившись с "материей" места, даст в итоге три измерения ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава. Если возьмем точку, лежащую вне нашего треугольника, и соединим ее с верхушками последнего, то получим уже трехмерное тело - пирамиду (тетраэдр), которая будет парадигмой, прототипом больших образований, "первым телом" опять-таки в логическом плане. Подобно тому как идеи у Платона являются безупречными эталонами чувственных вещей, точно так же треугольник ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава и пирамида являются у него промежными - не безупречными, да и не чувственно-телесными - эталонами всех двухмерных (плоскостных) и трехмерных (больших) объектов. И если мы будем именовать это "промежуточное" начало, эту "интеллигибельную материю" местом, то, стало быть, треугольник - это "1-ая", начальная, простая "клетка" тела.

Но это не означает ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава, что плоскость "складывается" из треугольников наподобие того, как одеяло сшивается из лоскутов. Отношение "эталона" к тому, прототипом чего оно является, другое, чем отношение атома к составленным из атомов телам. Как писал неоплатоник эры Возрождения Марсилио Фичино, "при построении правильных тел из простых треугольников имеется в виду не столько слагать их, сколько ассоциировать ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава вместе (comparanda haec inter se potius quam componenda)".

Итак, относительно онтологического статуса геометрических объектов мы можем сейчас сказать последующее: Платон исходит из различения 3-х видов действительности. "Есть бытие, есть место и есть появление". "Бытие" - это сфера безупречного, куда Платон относит и числа; все безупречное постигается разумом ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава, и о нем может быть настоящее познание - эпист(ме. "Появление" - это сфера чувственного "бывания", она дана чувственному восприятию, и о ней может быть иметь только мировоззрение в его 2-ух видах - веры и уподобления. "Место" - это нечто такое, что нельзя именовать ни безупречным в серьезном смысле, ни чувственным; оно смутно и ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава неопределенно, познается при помощи "незаконнорожденного рассуждения", т.е. воображения, как позже обусловил Прокл. Объекты геометрии, но, связаны с этим промежным родом бытия, хотя и не определяются только им одним. Так как они "воображаются", т.е. так как точка "движется" в воображаемом пространстве, они определяются этим последним. Так как же всякий ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава геометрический объект (треугольник, квадрат, круг и т.д.) представляет собой некое число либо числовое отношение, постольку он определяется не через место, а совершенно, логически. Геометрические объекты, стало быть, тоже можно рассматривать как "модификации": в их логическое оказывается "сращенным" с некого рода "материей", а конкретно с местом.

Так как, но, точка ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава, линия, треугольник, пирамида и т.д. - это воплощенные безупречные образования, постольку они неразделимы. Отсюда учение платоников не только лишь о неразделимых точках, да и о неразделимых линиях, неразделимых треугольниках либо, что то же самое, неразделимых поверхностях. "Поделить" точку, "первую" линию, "1-ый" треугольник - это все равно, что "поделить" понятие тождества ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава, различия либо "единства разных", ибо конкретно таковы "понятия" точки, полосы и плоскости. О "делении" применительно к этим первым элементам можно, согласно платоникам и пифагорейцам, гласить исключительно в одном смысле, а конкретно в смысле уменьшения числа измерений. Так, к примеру, в итоге "разделения" треугольника, т.е. плоскости, получим ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава не плоскости, наименьшие по собственной величине, а линию; в итоге деления полосы - не все наименьшие линейные отрезки, а точку. В этом состоит различие меж платоновским и демокритовским осознанием неразделимого. Согласно Демокриту, при делении тела мы получаем в конце концов дальше неразделимые элементы такого же измерения, что и само тело ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава.

И по правде, у Платона числовые (т.е. идеально-логические) элементы треугольника (тройки) - это двойка и единица. Как можно "поделить" тройку? Только разложив ее на эти "элементы" - в итоге заместо треугольника будет линия (двойка). То же и с линией. Но разве мы не можем поделить линию не как ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава двойку, как "передвигающуюся" в воображении точку, ибо ведь линия порождается этой передвигающейся точкой? На этот вопрос платоники, как кажется, должны ответить так: эту проводимую в воображении линию мы можем поделить, но мы разделим при всем этом не линию, а только некоторое чувственно воспринимаемое протяженное тело, которое будет "телом полосы ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава" только при одном условии: если оно - двойка. А двойку мы не можем разделять по другому чем на единицы, т.е. применительно к геометрии, точки.

Математические неразделимые: споры вокруг их в античности

Но такового рода объекты-кентавры - полосы, треугольники и т.д. - могли вызывать затруднения в силу смешения 2-ух качеств: числового (безупречного, логического ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава) и пространственного - воззрительного, приятного. Естественно, что при всем этом "неразделимые полосы" представлялись как "мелкие": ведь они - 1-ые, из их - все другое, и хоть какой отрезок прямой тогда оказывается состоящим из этих неразделимых (атомарных) линий, аналогично тому, как у Демокрита тело - из мелких частиц такого же измерения.

Конкретно на этом смешении ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава 2-ух методов рассмотрения - числового и пространственного - основан трактат "О неразделимых линиях", который приписывался Аристотелю, но принадлежит, может быть, Теофрасту. В нем дается критика учения платоников о неразделимых линиях. Посреди платоников это учение разрабатывал сначала Ксенократ, хотя, как докладывает Аристотель, оно уже было и у Платона.

Но создатель трактата ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава о неразделимых линиях исходит из представления о том, что последние представляют собой "мелкие" в пространственном (а не логическом) смысле линии-атомы, из которых слагается (вспомним предостережение Фичино) "большая" линия. А при таком осознании неразделимых линий вправду появляется целый ряд противоречий и неувязок, которые создатель и перечисляет.

Если допустить эти ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава "линии-атомы", то: "1... все полосы (отрезки) могли быть... соизмеримыми (sЏmmetroi). Ибо они все могли быть измеримыми с помощью атомов (-линий), как те, которые соизмеримы просто по длине, так и те, которые соизмеримы (только) в квадрате... 2. Дальше, раз из 3-х данных прямых появляется треугольник, то треугольник можно составить ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава также из 3-х линий-атомов. Но в каждом равностороннем треугольнике высота (проведенная из верхушки) проходит через середину (основания), а как следует, и через середину атомов (-линий)... 3. Дальше, присоединение одной полосы к другой не могло бы прирастить всей полосы. Ибо неразделимые полосы, взятые в совокупы, не образуют ничего большего..." Мы не ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава будем перечислять другие аргументы, потому что нрав критики уже понятен.

Приведенные два первых аргумента неведомого создателя практически вполне повторяют те, которые высказал Аристотель против допущения неразделимых физических атомов Демокрита. Аристотель показал, что допущение такового рода "последних неразделимых" противоречило бы самым естественным положениям арифметики, ибо тогда, во-1-х, все отрезки ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава могли быть соизмеримы (они имели бы атом в качестве меньшей меры), а во-2-х, нереально было бы поделить точно напополам отрезок, содержащий нечетное число атомов (ибо тогда было надо бы поделить атом). Что касается третьего аргумента, то он приводился уже у Зенона и не один раз воспроизводился у ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава Аристотеля: если атомы - это точки, лишенные всякой величины, то сумма их тоже не даст величины (этого аргумента Аристотель против Демокрита не выставлял, ибо его атомы - не математические точки, а малые величины - тела).

Но при всем этом любопытно отметить одно событие. Аристотель, не один раз отмечавший, что допущение атомизма Демокрита ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава не может согласоваться с арифметикой, ибо математика исходит из непрерывного континуума, в то же время нигде не приводит такого же аргумента против Платона и его учеников. Хотя если б он осознавал математические "неразделимые" так же, как создатель цитированного трактата, то был должен обвалиться на их еще резче, чем на Демокрита. Тем ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава паче что по другим нюансам обоснования арифметики Аристотель повсевременно полемизирует с платониками. Не поэтому ли он не указывал на несостоятельность учения о математических неразделимых, что был лучше ознакомлен о том, как трактовали их платоники?

Учение пифагорейско-платоновской школы о "неделимости" математических объектов - точки, полосы, треугольника, пирамиды - оказало ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава огромное воздействие на предстоящее развитие арифметики как в эру эллинизма, так и в средние века и в особенности в эру Возрождения.

В связи с неувязкой математических неразделимых встает очередной, может быть, более тяжелый вопрос. Мы уже знаем, что "поделить" математический объект, к примеру плоскость, - это означает получить математический ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава объект другого измерения; плоскость двухмерна; будучи "разбитой", она преобразуется в линию, т.е. в одномерное образование. Но что все-таки это за метод деления? Как лицезреем, он совершенно не похож на обыденное представление о делении как расчленении тела на части: в итоге деления мы тут вроде бы совершаем прыжок в ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава другой мир, ибо переход от измерения к измерению непонятен ни исходя из убеждений логики, ни исходя из убеждений "представления", т.е. обыденного представления о делении объекта.

Та же неясность появляется и при действии "умножения", т.е. при переходе от одномерного к двухмерному образованию, а от него - к трехмерному. Выше ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава мы лицезрели, что, исходя из убеждений платоника Прокла, "переход" от точки к полосы и от полосы к плоскости можно вроде бы увидеть в воображении: движение точки в интеллигибельной материи, пространстве, дает в итоге линию; линия - это вроде бы след передвигающейся точки в пространстве, след, удерживаемый воображением. Но созерцание движения точки ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава, полосы либо плоскости - это еще не логическое разъяснение перехода от объекта 1-го измерения к объекту 2-ух либо 3-х измерений. Может быть ли логическое разъяснение такового перехода, можно ли постигнуть его в понятии?

Для ответа на этот вопрос обратимся вновь к диалогу Платона "Парменид". При анализе этого диалога мы ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава сознательно опустили одно из рассуждений, одну из "гипотез" Платона, которая как раз сейчас, может быть, прольет некий свет на интересующий нас вопрос. В этом рассуждении Платон рассматривает делему приобщения одного к бытию: каким образом может происходить такое приобщение? Такая неувязка появилась для Платона после того, как он пришел к заключению, что ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава если единое существует, то оно есть почти все. Сейчас же он ставит вопрос так: "Если единое таково, каким мы его проследили, то не должно ли оно, будучи, с одной стороны, одним и многим, и не будучи, с другой стороны, ни одним, ни многим, а не считая того, будучи причастным ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава времени, быть какое-то время причастным бытию, так как оно существует, и какое-то время не быть ему причастным, так как оно не существует?"

Приобщение к бытию - это появление, а отрешение от бытия - смерть; но это только последние из состояний, в какие может перебегать система "единое ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава - почти все"; кроме их, есть промежные состояния, такие, как повышение и уменьшение, уподобление и становление неподобным, разъединение многих и соединение (многих) в единое, - одним словом, все виды переходов из 1-го состояния в другое - переходов, которые все заданы уже последними переходами из бытия в небытие и назад. К числу этих ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава переходов Платон относит также переход от покоя к движению и назад, замечая при всем этом, что, пока что-то движется либо лежит, оно находится во времени, но когда оно перебегает от покоя к движению, то в момент перехода оно и не движется, и не лежит (что, кстати, можно рассматривать ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава и как "третье" - как характеристику "становления"). "Ведь не существует времени, в течение которого что-либо могло бы сходу и не двигаться, и не покоиться... Так когда же оно меняется? Ведь и не покоясь, и не двигаясь, и не находясь во времени, оно не меняется... В таком случае не удивительно ли ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава то, в чем оно будет находиться тогда, когда оно меняется?" Если, двигаясь либо покоясь, нечто находится во времени, то в момент перехода от движения к покою оно не находится во времени. Чем все-таки в таком случае будет то, "в чем" оно находится в момент перехода? Оно является, по ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава Платону, вневременным "вдруг". "Ибо это "вдруг", видимо, значит нечто такое, начиная с чего происходит изменение в ту либо другую сторону. По правде, изменение не начинается с покоя, пока это - покой, ни с движения, пока длится движение; но это странноватое по собственной природе "вдруг" лежит меж движением и покоем ПЛАТОН И ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРОГРАММЫ В АНТИЧНОЙ НАУКЕ 5 глава, находясь совсем вне времени; но в направлении к нему и исходя от него меняется движущееся, переходя к покою, и покоящееся, переходя к движению" (курсив мой. - П.Г.).


planirovochnij-mikrorajon-0118-opublikovat-reshenie-v-rajonnoj-gazete-novosti-priobya.html
planiruemie-formi-raboti-konferencii.html
planiruemie-predmetnie-rezultati-osvoeniya-obuchayushimisya-programmi-po-matematike.html